Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Misalkan $f(x)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g(x)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h(x)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{aligned} f(x) & = x(4x^2-8x+24) \\ & = 4x^3-8x^2+24x \\ g(x) & = 40x \\ h(x) & = g(x) -f(x) \\ & = 40x -(4x^3-8x^2+24x) \\ & = -4x^3 + 8x^2 + 16x \end{aligned}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h'(x)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{aligned} h(x) & = -4x^3 + 8x^2 + 16x \\ h'(x) & = -12x^2 + 16x + 16 \\ 0 & = -12x^2+16x+16 \\ \text{Bagi}~& \color{red}{\text{kedua ruas dengan -4}} \\  0 & = 3x^2 -4x -4 \\ 0 & = (3x+2)(x-2) \end{aligned}$
Diperoleh $x = -\dfrac{2}{3}$ atau $x = 2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h(x)$. 
$\begin{aligned} h(2) & = -4(2)^3 + 8(2)^2 + 16(2) \\ & = -4(8) + 8(4) + 32 = 32 \end{aligned}$
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = x\left(2x-600+\dfrac{30}{x} \right) \\ & = 2x^2 -600x + 30 \end{aligned}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f'(x) = 0$, yakni
$\begin{aligned} 4x -600 & = 0 \\ 4x & = 600 \\ x & = 150 \end{aligned}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\boxed{150~\text{hari}}$ agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah sehingga
$\begin{aligned} f(x) & = x\left(3x – 180 + \dfrac{5.000}{x} \right) \\ & = 3x^2- 180x + 5.000 \end{aligned}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f'(x) = 0$, yakni
$\begin{aligned} 6x -180 & = 0 \\ 6x & = 180 \\ x & = 30 \end{aligned}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{aligned}f(30) & = 3(30)^2 -180(30) + 5.000 \\ & = 2.700 -5.400 + 5.000 \\ & = 2.300 \end{aligned}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\boxed{\text{230 juta rupiah}}$
(Jawaban C)

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah $f(x) = \dfrac14x^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g(x) = x \cdot \left(55-\dfrac12x\right) = 55x-\dfrac12x^2.$ Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan $$\begin{aligned} h(x) & = g(x)-f(x) \\ & = \left(55x-\dfrac12x^2\right)-\left(\dfrac14x^2+25x+25\right) \\ & = -\dfrac34x^2 + 30x-25 \end{aligned}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h'(x) = 0$.
$$\begin{aligned} -\dfrac34(2)x + 30 & = 0 \\ -\dfrac32x & = -30 \\ x & = 30 \times \dfrac23 \\ x & = 20 \end{aligned}$$Substitusi $x = 20$ pada $h(x)$.
$$\begin{aligned} h(20) & = -\dfrac34(20)^2 + 30(20)-25 \\ & = -300 + 600-25 = 275 \end{aligned}$$Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

Diketahui: $h(t) = 120t -5t^2$. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah $h'(t) = 120 -10t.$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h'(t) = 0$ sehingga ditulis
$120 – 10t = 0 \Leftrightarrow 10t = 120 \Leftrightarrow t = 12.$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t = 12$, yaitu
$\begin{aligned} h(12) & = 120(12) -5(12)^2 \\ & = 1440 -720 = 720 \end{aligned}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $\boxed{720~\text{meter}}$
(Jawaban D)

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{aligned} k & = 2(p + l) \\ 2x + 24 & = 2(p + 8 -x) \\ x + 12 & = p + 8 -x \\ p & = 2x + 4 \end{aligned}$
Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{aligned} L(x) & = p \times l \\ & =(2x+4)(8-x) \\ & = -2x^2 + 12x + 32 \end{aligned}$ 
Luas akan maksimum saat $L'(x) = 0$ sehingga
$\begin{aligned} L'(x) & = 0 \\ -4x + 12 & = 0 \\ 4x & = 12 \\ x & = 3 \end{aligned}$
Saat $x = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} p & = 2x + 4 \\ p & = 2(3) + 4 = 10 \end{aligned}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $\boxed{10~\text{meter}}$
(Jawaban C)

Nyatakan $t$ dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. 
$\begin{aligned} V & = 108 \\ x \cdot x \cdot t & = 108 \\ x^2 \cdot t & = 108 \\ t & = \dfrac{108}{x^2} \end{aligned}$
Nyatakan luas permukaan ($L$) balok sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} L(x) & = 4(x \cdot t) + (x \cdot x) \\ & = 4xt + x^2 \\ & = 4x\left(\dfrac{108}{x^2}\right) + x^2 \\ & = 432x^{-1} + x^2 \end{aligned}$
Luas permukaan akan minimum saat $L'(x) = 0$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} L'(x) & = 0 \\ -432x^{-2} + 2x & = 0 \\ 2x & = 432x^{-2} \\ x^3 & = 216 \\ x & = \sqrt[3]{216} = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ agar luas permukaan kotak minimum adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Nyatakan $t$ (tinggi tabung) dalam $r$ (jari-jari tabung) dengan menggunakan luas permukaan tabung ($L$) tersebut. 
$\begin{aligned} L & = 300 \\ \pi r^2 + 2\pi rt & = 300 \\ 2\pi rt & = 300 -\pi r^2 \\ t & = \dfrac{300 -\pi r^2}{2\pi r} \end{aligned}$
Nyatakan volume tabung (V) sebagai fungsi terhadap variabel $r$.
$\begin{aligned} V(r) & = \pi r^2 t \\ & = \cancelto{r}{\pi r^2}\left(\dfrac{300- \pi r^2}{2\cancel{\pi r}}\right) \\ & = \dfrac{r} {2}(300 -\pi r^2) \\ & = 150r- \dfrac{1}{2}\pi r^3 \end{aligned}$
Volume tabung akan maksimum saat $V'(x) = 0$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 150 -\dfrac{3}{2}\pi r^2 & = 0 \\ \dfrac{3}{2}\pi r^2 & = 150 \\ \pi r^2 & = 150 \times \dfrac{2}{3} = 100 \end{aligned}$
Karena alas tabung berupa lingkaran dengan rumus luasnya $\pi r^2$, maka kita peroleh bahwa luas alas tabung agar volume tabung maksimum adalah $\boxed{100~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

Diketahui:
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = 40~\text{cm}^3/\text{detik} \\ \dfrac{\text{d}r} {\text{d}t} & = 20~\text{cm}/\text{detik} \end{aligned}$
Diketahui juga bahwa rumus volume bola ($V$) dinyatakan oleh $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ sehingga turunannya terhadap $r$ adalah $\dfrac{\text{d}V} {\text{d}r} = 4\pi r^2.$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = 40 \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r} {\text{d}t} & = 40 \\ 4\pi r^2 \cdot 20 & = 40 \\ 80\pi r^2 & = 40 \\ r^2 & = \dfrac{1}{2\pi} \\ r & = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \end{aligned}$
Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah $\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}}$
(Jawaban B)

Misalkan $p = 25~\text{meter}.$
Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{aligned} k & = 500 \\ 4(p + l + t) & = 500 \\ 25 + l + t & = 125 \\ l + t & = 100 \\ l & = 100 -t \end{aligned}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{aligned} V(t) & = p \times l \times t \\ & = 25 \times (100 -t) \times t \\ & = 2.500t -25t^2 \end{aligned}$
Volume balok akan maksimum saat $V'(t) = 0$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} V'(t) & = 0 \\ 2.500 -50t & = 0 \\ 50t & = 2.500 \\ t & = 50 \end{aligned}$
Untuk $t = 50$, maka $l = 100-50 = 50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$ meter.
(Jawaban E)

Diketahui bahwa panjang dan lebar balok sama, yaitu $p = l = x.$

Nyatakan $t$ (tinggi balok) dalam $x$ dengan menggunakan luas permukaan balok ($L$) tersebut. 
$\begin{aligned} L & = 2(pl + pt + lt) \\ 96 & = 2(x^2 + tx + tx) \\ 48 & = x^2 + 2tx \\ 2tx & = 48 -x^2 \\ t & = \dfrac{48-x^2}{2x} \end{aligned}$
Selanjutnya, nyatakan volume balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x.$ 
$\begin{aligned} V(x) & = p \times l \times t \\ V(x) & = x \times \cancel{x} \times \dfrac{48-x^2}{2\cancel{x}} \\ V(x) & = 24x – \dfrac{1}{2}x^3 \end{aligned}$
Volume balok akan maksimum saat $V'(x) = 0$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 24 -\dfrac{3}{2}x^2 & = 0 \\ \dfrac{3}{2}x^2 & = 24 \\ x^2 & = 24 \times \dfrac{2}{3} = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, volume balok terbesar adalah
$\begin{aligned} V(4) & = 24(4) -\dfrac{1}{2}(4)^3 \\ & = 96 -32 = 64~\text{cm}^3 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $A$ menyatakan luas kertas, $p$ menyatakan panjang kertas, dan $l$ menyatakan lebar kertas. Nyatakan $l$ dalam $p$ dengan menggunakan luas kertas yang diketahui nilainya. 
$\begin{aligned} A & = p \times l \\ 54 & = p \times l \\ l & = \dfrac{54}{p} \end{aligned}$
Misalkan $L$ menyatakan luas daerah pengetikan. Nyatakan $L$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$. 
$\begin{aligned} L(p) & = (p-3)(l – 2) \\ & = (p-3)\left(\dfrac{54}{p} -2\right) \\ & = 60 -\dfrac{162}{p} – 2p \end{aligned}$
Agar $L(p)$ maksimum, turunan pertamanya harus bernilai $0$. 
$\begin{aligned} L'(p) & = 0 \\ \dfrac{162}{p^2} -2 & = 0 \\ 2p^2 & = 162 \\ p^2 & = 81 \\ p & = 9 \end{aligned}$
Untuk $p=9$, berarti $l = \dfrac{54}{9} = 6.$
Jadi, panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikan maksimum berturut-turut adalah $\boxed{9~\text{cm}}$ dan $\boxed{\text{6 cm}}$
(Jawaban A)

Misalkan keuntungan ($U$) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi) sehingga
$\begin{aligned} U(x) & = x(20-x)-(x^2+4x+10) \\ & = 20x -x^2 -x^2 -4x-10 \\ & = -2x^2 + 16x -10 \end{aligned}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U'(x) = 0.$
$\begin{aligned} U'(x) & = 0 \\ -4x + 16 & = 0 \\ 4x & = 16 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi $4$ unit pakaian, yaitu
$\begin{aligned} U(4) & = -2(4)^2 + 16(4) -10 \\ & = -32 + 64 -10 = 22 \end{aligned}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E)

Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$ cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30-2x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0 < x < 15$. 
Nyatakan volume kotak/balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{aligned} V(x) & = plt \\ & = (30-2x) (30-2x)x \\ & = 4x^3 -120x^2 + 900x \end{aligned}$
Volume kotak akan maksimum apabila $V'(x) = 0.$
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 12x^2 -240x + 900 & = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&\text{dengan 12} \\ x^2 -20x + 75 & = 0 \\ (x -15)(x -5) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 15$ (tidak memenuhi) atau $x = 5.$
Untuk $x = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} V(5) & = 900(5) -120(5)^2 + 4(5)^3 \\ & = 4.500 -3.000 + 500 = 2.000 \end{aligned}$
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\boxed{2.000~\text{cm}^3}$
(Jawaban A)

Gunakan luas persegi panjang untuk menentukan hubungan panjang $(p)$ dan lebar $(l).$
$L = p \times l \Rightarrow l = \dfrac{324}{p}$
Pemasangan kawat duri merupakan permasalahan keliling sehingga perlu dinyatakan keliling persegi panjang $(k)$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$ (atau boleh juga $l$). 
$\begin{aligned} k & = 2p + 2l \\ & = 2p + 2\left(\dfrac{324}{p}\right) \\ & = 2p + \dfrac{648}{p} \end{aligned}$
$k$ akan maksimum saat $\dfrac{\text{d}k} {\text{d}p} = 0$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}k} {\text{d}p} & = 2 -\dfrac{648}{p^2} \\  0 & = 2 -\dfrac{648}{p^2} \\ \dfrac{648}{p^2} & = 2 \\ p^2 & = \dfrac{648}{2} = 324 \\ p & = \sqrt{324} = 18 \end{aligned}$
Untuk $p = 18~\text{meter}$, diperoleh $l = \dfrac{324}{18} = 18.$
Ini artinya, ketika panjang dan kandang $18$ meter, maka keliling akan bernilai minimum, yaitu
$k_{\text{min}} = 2(p + l) = 2(18 + 18) = 72~\text{m}.$
Biaya pemasangan kawat minimum adalah $72 \times \text{Rp}12.000,00 = \text{Rp}864.000,00$. 
Berarti opsi jawaban yang diberikan, jawaban yang paling tepat adalah D.

Misalkan $h$ dan $r$ masing-masing menyatakan tinggi dan jari-jari kerucut. 
Berdasarkan kesebangunan kerucut:
Saat $h= 10$ cm, diperoleh $r = 5$ cm. 
Dengan demikian, 
Saat $h = 5$ cm, diperoleh $r = \dfrac52$ cm. 
Diketahui bahwa laju penguapan/perubahan ketinggian terhadap waktu $t$ adalah $\dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} = \dfrac{3}{10\pi}~\text{cm/jam}$.
Laju perubahan volume didapat dengan menurunkan fungsi volume kerucut $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$ terhadap waktu $t.$
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} \\ & = \dfrac{1}{\bcancel{3}}\cancel{\pi} r^2 \cdot \dfrac{\bcancel{3}}{10\cancel{\pi}} \\ \left.\dfrac{\text{d}V} {\text{d}t}\right|_{r=\frac52} & = \dfrac{\left(\frac52\right)^2}{10} \\ & = \dfrac{25}{40} = \dfrac58~\text{cm}^3\text{/jam} \end{aligned}$
Jadi, laju perubahan volume pada saat ketinggian air 5 cm adalah $\boxed{\dfrac{5}{8}~\text{cm}^3\text{/jam}}$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku $x^2 + y^2 = (\sqrt5)^2 = 5.$
Persamaan tersebut ekuivalen dengan $y = \sqrt{5-x^2}.$
Misalkan $f(x) = 2x + y = 2x + \sqrt{5-x^2}.$
Agar $f(x)$ maksimum, nilai turunan pertamanya harus $0$ sehingga kita dapatkan
$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ 2 -\dfrac12 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5-x^2}} \cdot (-2x) & = 0 \\ 2 -\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}} & = 0 \\ 2\sqrt{5-x^2} -x & = 0 \\ 2\sqrt{5-x^2} & = x \\ \text{Kuadratkan kedua ruas}& \\ 4(5-x^2) & = x^2 \\ 20 -4x^2 & = x^2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = 2 \end{aligned}$
Untuk $x=2$, diperoleh $y = \sqrt{5 -(2)^2} = 1.$
Dengan demikian, nilai maksimum dari $2x+y$ adalah $\boxed{2(2)+1=5}$
(Jawaban A)

Diberikan $k = px$. Untuk $p = 90 -3x,$ diperoleh
$k = (90 -3x)x = -3x^2 + 90x.$
$k$ akan maksimum saat turunan pertamanya, yaitu $\dfrac{\text{d}k}{\text{d}x}$ bernilai $0$, ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}k}{\text{d}x} & = -6x + 90 \\ 0 & = -6x + 90 \\ 6x & = 90 \\ x & = 15 \end{aligned}$
Nilai $x = 15$ berada pada interval $x$ yang diberikan.
Substitusikan ke persamaan $k = -3x^2 + 90x$ sehingga diperoleh
$k_{\text{maks}} = -3(15)^2 + 90(15) = 675.$
Jadi, total penjualan maksimum adalah $675$ juta rupiah atau Rp675.000.000,00.
(Jawaban B)

Diketahui luas permukaan tabung tanpa tutup adalah $k\pi~\text{cm}^2$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} L_{\text{tab}\text{ung}} & = k\pi \\ \pi r^2 + 2\pi r t & = k\pi \\ \cancel{\pi} (r^2 + 2rt) & = k\cancel{\pi} \\ r^2 + 2rt & = k && (\cdots 1) \end{aligned}$
Diketahui volume tabung tersebut $8\pi~\text{cm}^3$ sehingga ditulis
$\begin{aligned} V_{\text{tab}\text{ung}} & = 8\pi \\ \cancel{\pi}r^2t & = 8\cancel{\pi} \\ r^2t & = 8 \\ t & = \dfrac{8}{r^2}~~~~~(\cdots 2) \end{aligned}$
Substitusikan $(2)$ ke $(1)$, diperoleh
$\begin{aligned} r^2 + 2r \left(\dfrac{8}{r^2} \right) & = k \\ r^2 + \dfrac{8}{r} & = k \\ r^3 -kr + 8 & = 0 \end{aligned}$
Sekarang, misalkan $f(r) = r^3 -kr + 8$. Volume tabung akan minimum saat $f'(r) = 0$, yaitu
$3r^2 – k = 0 \Leftrightarrow k = 3r^2.$
Ini artinya, volume tabung akan minimum bila $k=3r^2.$ 
Substitusikan nilai $k$ ini ke $(1)$. 
$\begin{aligned} r^2 + 2rt & = k \\ r^2 + 2rt & = 3r^2 \\ 2r^2 -2rt & = 0 \\ 2r(r- t) & = 0 \end{aligned}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $r = t.$ 
Terakhir, substitusikan ke $(2)$. 
$\begin{aligned} t & = \dfrac{8}{r^2} \\ tr^2 & = 8 \\ (r)r^2 & = 8 \\ r^3 & = 8 \\ r & = \sqrt[3]{8} = 2 \end{aligned}$
Dengan demikian, $\boxed{k = 3r^2 = 3(2)^2 = 12}$
Jadi, nilai $k$ adalah $12$.
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} r & = 12~\text{cm} \\ h & = 18~\text{cm} \\ \dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} & = \dfrac{27}{100\pi}~\text{cm/detik} \end{aligned}$
Ditanya: $\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t}.$
Hubungan panjang jari-jari dan tinggi kerucut diberikan oleh
$\dfrac{r}{h} = \dfrac{12~\text{cm}}{18~\text{cm}} \Leftrightarrow r = \dfrac23h.$
Volume kerucut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac13\pi r^2 h \\ & = \dfrac13\pi \left(\dfrac23h\right)^2h \\ & = \pi \cdot \dfrac{4}{27}h^3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\dfrac{\text{d}V}{\text{d}h} = 3\pi \cdot \dfrac{4}{27}h^2 = \pi \cdot \dfrac49h^2$
dan kita akan mendapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} \\ & = \pi \cdot \dfrac49h^2 \cdot \dfrac{27}{100\pi} \\ & = \dfrac{3}{25}h^2 \end{aligned}$
Untuk $h = 5$, diperoleh
$\left[\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t}\right]_{h = 5} = \dfrac{3(5)^2}{25} = 3.$
Jadi, debit air saat mencapai tinggi $5~\text{cm}$ adalah $\boxed{3~\text{cm}^3/\text{detik}}$
(Jawaban A)

Misalkan garis tersebut memotong sumbu-$X$ di $(a, 0)$ dan sumbu-$Y$ di $(0, b)$ sehingga persamaan garisnya adalah $bx + ay = ab$, seperti tampak pada sketsa grafik berikut.
Karena garis itu melalui titik $(x, y) = (4, 3)$, maka diperoleh
$\begin{aligned} 4b + 3a & = ab \\ 3a & = ab-4b \\ 3a & = b(a-4) \\ \dfrac{3a}{a-4} & = b \end{aligned}$
Segitiga yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat selalu berbentuk segitiga siku-siku sehingga kita peroleh $L_{\triangle} = \dfrac12ab.$
Substitusi $b$ dalam bentuk $a$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(a) & = \dfrac12a \cdot \dfrac{3a}{a-4} \\ & = \dfrac32 \cdot \dfrac{a^2}{a-4}, a \neq 4 \end{aligned}$
Agar luasnya minimum, maka haruslah $f'(a) = 0.$
Misalkan $u = a^2$ dan $v = a-4$ sehingga $u’ = 2a$ dan $v’ = 1.$ Kita peroleh
$\begin{aligned} f'(a) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ 0 & = \dfrac{2a(a-4)-a^2(1)}{(a-4)^2} \\ 0 & = \dfrac{a^2-8a}{(a-4)^2} \\ 0 & = a^2-8a \\ 0 & = a(a-8) \end{aligned}$
Didapat $a = 0$ atau $a = 8.$
Ambil $a = 8$ (agar terbentuk segitiga), berakibat $b = 6$, dari hasil substitusi $b = \dfrac{3a}{a-4}.$
Luas minimum segitiga adalah $\boxed{L_{\triangle} = \dfrac12(8)(6) = 24}$
(Jawaban D)

Nilai minimum fungsi $f(x, y) = 4x+y$ tercapai ketika kedua variabel $x$ dan $y$ dipilih sekecil mungkin.
Untuk itu, nilai minimum akan tercapai ketika $xy = 4$, atau setara dengan $y = \dfrac{4}{x}.$
Substitusikan pada $f(x, y)$ sehingga kita akan peroleh fungsi satu variabel $f(x) = 4x + \dfrac{4}{x}.$
Nilai minimum tercapai saat $f'(x) = 0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} \underbrace{4-\dfrac{4}{x^2}}_{f'(x)} & = 0 \\ \dfrac{4}{x^2} & = 4 \\ \dfrac{1}{x^2} & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$
Nilai $x = -1$ tidak dipilih karena diberi syarat $x \geq 0.$
Jadi, diperoleh $x = 1$, berakibat $y = 4,$ dan didapat nilai minimumnya, yaitu $\boxed{f_{\text{min}}(1, 4) = 4(1) + 4 = 8}$
(Jawaban E)

Perhatikan kembali sketsa gambar berikut.
Berdasarkan gambar di atas, kita peroleh $\tan \alpha = \dfrac{4}{x}$ dan $\tan \beta = \dfrac{1}{x}$ sehingga
$$\begin{aligned} \tan \theta & = \tan (\alpha-\beta) \\ & = \dfrac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} \\ & = \dfrac{\dfrac{4}{x}-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{4}{x} \cdot \dfrac{1}{x}} \color{red}{\times \dfrac{x^2}{x^2}} \\ & = \dfrac{3x}{x^2 + 4} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\theta$ berada di kuadran I. Agar $\theta$ bernilai maksimum, $\tan \theta$ harus dibuat sebesar mungkin (pada kuadran I, semakin besar sudutnya, nilai tangen sudutnya juga semakin besar).
Nilai ekstrem fungsi tangen $f(\theta) = \tan \theta$ tercapai saat turunan pertamanya terhadap variabel $x$ bernilai $0.$
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, misalkan $u = 3x$ dan $v = x^2+4$ sehingga $u’ = 3$ dan $v’ = 2x.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} f(\theta) & = \tan \theta = \dfrac{3x}{x^2+4} \\ \Rightarrow f'(\theta) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ 0 & = \dfrac{3(x^2+4)-3x(2x)}{(x^2+4)^2} \\ 0 & = \dfrac{3x^2+12-6x^2}{(x^2+4)^2} \\ 0 & = \dfrac{-3x^2+12}{(x^2+4)^2} \\ 0 & = -3x^2+12 \\ 3x^2 & = 12 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{aligned}$$Karena $x$ mewakili besaran jarak (panjang), maka nilainya tidak mungki negatif. Jadi, diperoleh $x = 2$. Ini artinya, jarak orang terhadap dinding itu haruslah $\boxed{2~\text{meter}}$
(Jawaban C)

Diketahui:
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = -7,2\pi \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} & = -0,05 \end{aligned}$
Menurut Aturan Rantai, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} \\ -7,2\pi & = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} \cdot (-0,05) \\ \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} & = \dfrac{7,2\pi}{0,05} \end{aligned}$$Karena balon berbentuk bola, maka volumenya dinyatakan oleh $V = \dfrac43\pi r^3$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} & = 4\pi r^2 \\ \dfrac{7,2\pi}{0,05} & = 4\pi r^2 \\ \dfrac{7,2\bcancel{\pi} \times \cancelto{5}{20}}{\cancel{4}\bcancel{\pi}} & = r^2 \\ 7,2 \times 5 = 36 & = r^2 \\ r & = 6 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari balon pada saat laju perubahan pengurangan jari-jari balon $-0,05~\text{mm}/\text{detik}$ adalah $\boxed{6~\text{mm}}$
(Jawaban B)

Diketahui:
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = 36 \\ L & = 24 \Rightarrow 6r^2 = 24 \Rightarrow r = 2 \end{aligned}$$Volume kubus ditentukan oleh rumus $V = r^3$ sehingga $\dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} = 3r^2 = 3(2)^2 = 12.$
Dengan menggunakan aturan rantai, didapat
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V}{\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} \\ 36 & = 12 \cdot \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} \\ \dfrac{\text{d}r}{\text{d}t} & = \dfrac{36}{12} = 3 \end{aligned}$$Jadi, laju pertambahan panjang rusuk kubus tersebut adalah $\boxed{3~\text{cm}/\text{menit}}$
(Jawaban B)

Nyatakan $y$ dalam $x$ dengan menggunakan keliling trapesium ($k$). 
$\begin{aligned} k & = 5x + y + 5x + (6x + y) \\ 52 & = 16x + 2y \\ 26 & = 8x + y \\ y & = 26 -8x \end{aligned}$
Tinggi trapesium dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras, yaitu
$t = \sqrt{(5x)^2-(3x)^2} = \sqrt{16x^2} = 4x.$
Jawaban a)
Nyatakan luas trapesium ($L$) sebagai fungsi terhadap variabel $x.$ 
$\begin{aligned} L & = \dfrac{(6x + y) + y} {2} \times 4x \\ & = 12x^2 + 4xy \\ & = 12x^2 + 4x(26-8x) \\ & = 104x – 20x^2 \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $L = 104x-20x^2.$
Jawaban b) 
Agar luas maksimum, haruslah $L'(x) = 0.$ 
$\begin{aligned} L'(x) & = 0 \\ 104 – 40x & = 0 \\ 40x & = 104 \\ x & = \dfrac{104}{40} = \dfrac{13}{5} \end{aligned}$
Untuk $x = \dfrac{13}{5},$ diperoleh
$y = 26 -8 \cdot \dfrac{13}{5} = \dfrac{130 -104}{5} = \dfrac{26}{5}.$
Jadi, nilai $x$ dan $y$ agar luas maksimum berturut-turut adalah $\dfrac{13}{5}~\text{cm}$ dan $\dfrac{26}{5}~\text{cm}.$ 
Jawaban c) 
Substitusikan $x = \dfrac{13}{5}$ pada $L(x).$ 
$\begin{aligned} L\left(\dfrac{13}{5}\right) & = 104\left(\dfrac{13}{5}\right) -20 \left(\dfrac{13}{5}\right)^2 \\ & = \dfrac{1.352}{5} -\dfrac{676}{5} \\ & = \dfrac{676}{5} = 135,2 \end{aligned}$
Jadi, luas maksimumnya adalah $\boxed{135,2~\text{cm}^2}$

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dimisalkan bahwa $y$ sebagai panjang dan $x$ sebagai lebar persegi panjangnya.
Kawat sepanjang $100~\text{cm}$ akan menjadi keliling kerangka sehingga ditulis
$\begin{aligned} 2x+2y+\dfrac14(2\pi x) & = 100 \\ \Leftrightarrow y & = 50-x-\dfrac14\pi x \end{aligned}$
Fungsi yang menyatakan luas kerangka bangun tersebut (luas persegi panjang ditambah luas seperempat lingkaran) ditulis dalam bentuk $\textbf{L} = xy + \dfrac14\pi x^2.$
Substitusikan $y = 50-x-\dfrac14\pi x$ ke fungsi $\textbf{L}$ di atas sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \textbf{L} & = x\left(50-x-\dfrac14\pi x\right)+\dfrac14 \pi x^2 \\ & = 50x-x^2 \end{aligned}$
Agar luasnya maksimum, maka turunan dari $\textbf{L}$ harus bernilai $0$.
$\begin{aligned} \textbf{L}’ & = 0 \\ \Rightarrow 50-2x & = 0 \\ x & = 25 \end{aligned}$
Untuk mendapatkan luas maksimum, substitusi $x = 25$ pada fungsi $\textbf{L}$.
$\begin{aligned} \textbf{L} & = 50x-x^2 \\ \textbf{L}_{\text{maks}} & = 50(25)-(25)^2 \\ & = 625~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas maksimum kerangka tersebut adalah $\boxed{625~\text{cm}^2}$

Persamaan garis pada gambar adalah
$10x+6y=60 \Leftrightarrow y = 10-\dfrac53x.$
Jika sembarang titik $(x, y)$ diletakkan pada garis tersebut sebagai titik sudut persegi panjang seperti gambar berikut,
maka $x$ menyatakan panjangnya, sedangkan $y$ menyatakan lebarnya sehingga luasnya dinyatakan oleh
$\begin{aligned}\textbf{L} & = xy \\ & = x\left(10-\dfrac53x\right) \\ & = 10x-\dfrac53x^2 \end{aligned}$
Agar luasnya maksimum, turunannya harus bernilai $0.$
$\begin{aligned} \textbf{L}’ & = 0 \\ \Rightarrow 10-\dfrac{10}{3}x & = 0 \\ \dfrac{10}{3}x & = 10 \\ x & = 3 \end{aligned}$
sehingga
$y = 10-\dfrac53\color{blue}{x} = 10-\dfrac53(\color{blue}{3}) = 5.$
Luas maksimumnya adalah
$\textbf{L}_{\text{maks}} = xy= 3(5) = 15.$
Jadi, luas maksimum persegi panjang itu ialah $\boxed{15}$

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan dipilih sembarang titik yang dilalui garis $y = 3x$, yaitu $x_1 = a$ sehingga koordinatnya adalah $(a, 3a).$ Agar tingginya sama, maka garis $y = 30-2x$ juga harus melalui titik dengan ordinat $y=3a$ sehingga
$\begin{aligned} 3a & = 30-2x \\ 2x & = 30-3a \\ x & = 15-\dfrac32a \end{aligned}$
Diperoleh $x_2 = 15-\dfrac32a$.
Sekarang, panjang dan lebar persegi panjang itu dapat ditentukan, yaitu
$\boxed{\begin{aligned} p & = x_2-x_1 \\ & = 15-\dfrac32a-a \\ & = 15-\dfrac52a \\ l & = 3a \end{aligned}}$
Dengan demikian, fungsi luasnya kita nyatakan dengan
$\begin{aligned} L(a) & = pl \\ & = \left(15-\dfrac52a\right) \times 3a \\ & = 45a-\dfrac{15}{2}a^2 \end{aligned}$
Agar luas maksimum, maka $L'(a) = 0$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 45-\dfrac{15}{2}(2a) & = 0 \\ 45-15a & = 0 \\ a & =3 \end{aligned}$
Jadi, luas persegi panjang akan maksimum bila diambil $a = 3.$
Luas maksimum yang dimaksud itu adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{\text{maks}} & = 45(3)-\dfrac{15}{2}(3)^2 \\ & = 135-67,5 = 67,5 \end{aligned}}$

Jawaban a) 
Turunan pertama $s$ terhadap variabel $t$ dinyatakan oleh $\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t} = 3t + 0,6.$
Jawaban b) 
Saat $t = 0,3$, substitusi pada persamaan $\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t} = 3t + 0,6$ menghasilkan $3(0,3) + 0,6 = 1,5.$
Jadi, kecepatan sesaatnya adalah $1,5$ meter/detik. 
Jawaban c) 
Diketahui $\dfrac{\text{d}s} {\text{d}t} = 6,6$. Dengan demikian, ditulis
$6,6 = 3t + 0,6 \Leftrightarrow 3t = 6 \Leftrightarrow t = 2.$
Jadi, waktu yang diperlukan adalah $2$ detik.

Jawaban a) 
Diketahui tinggi tabung ditambah dengan tinggi tutup kaleng adalah $(h+2)~\text{cm}$. 
Nyatakan luas permukaan tabung dalam $h$ dan $x$. 
$\begin{aligned} L_{\text{tab}\text{ung}} & = 2\pi r(r + t) \\ 448\cancel{\pi} & = 2\cancel{\pi}x(x + (h+2)) \\ 224 & = x^2 + hx + 2x \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $x^2+hx+2x=224.$
Jawaban b) 
Pertama-tama, nyatakan $h$ dalam $x$ dengan memanfaatkan persamaan $\color{red}{x^2+hx+2x=224}$ sebagai berikut. 
$\begin{aligned} x^2+hx+2x & = 224 \\ hx & = 224-x^2-2x \\ h & = \dfrac{224-x^2-2x} {x} \end{aligned}$
Selanjutnya, nyatakan volume tabung ($V$) dalam variabel $x.$ 
$\begin{aligned} V(x) & = \pi r^2t \\ & = \pi x^2h \\ & = \pi \cancelto{x} {x^2} \left(\dfrac{224-x^2-2x} {\cancel{x}}\right) \\ & = \pi x(224-2x-x^2) \\ & = 224\pi x – 2\pi x^2 -\pi x^3 \end{aligned}$
Volume tabung akan maksimum saat $V'(x) = 0.$
$\begin{aligned} V'(x) & = 0 \\ 224\pi – 4\pi x -3\pi x^2 & = 0 \\ \color{blue}{\text{Bagi kedua ruas}}~& \color{blue}{\text{dengan}~-\pi} \\ 3x^2 + 4x -224 & = 0 \\ (x-8)(3x+28) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 8$ atau $x = -\dfrac{28}{3}$. Karena $x$ mewakili ukuran panjang, maka nilainya tidak mungkin negatif. Jadi, dipilih $x = 8.$
Nilai $x$ jika volume tabung maksimum adalah $\boxed{8}$
Volume tabung untuk $x = 8$ adalah
$\begin{aligned} V(8)& = 224\pi(8) -2\pi(8)^2 -\pi(8)^3 \\ & = 8\pi(224 -16 -64) \\ & = 8\pi (144) = 1.152\pi \end{aligned}$
Jadi, volume maksimum kaleng (tabung) tersebut adalah $\boxed{1.152~\text{cm}^3}$

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Jawaban a)
Diameter wadah itu adalah 24 cm sehingga $OB = OC = OD = 12$ cm (jari-jari bola) dan $OA = (12 -h)$ cm. Misalkan $AC = r$, maka dapat dinyatakan hubungan $r$ dan $h$ melalui $\triangle OAC$ dengan menggunakan rumus Pythagoras, yakni
$\begin{aligned} AC^2 & = OC^2 -OA^2 \\ r^2 & = 12^2 -(12 -h)^2 \\ r^2 & = \cancel{12^2} -(\cancel{12^2} + h^2 – 24h) \\ r^2 & = 24h -h^2 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas permukaan alkohol (berbentuk lingkaran) dapat dinyatakan sebagai
$\begin{aligned} L & = \pi r^2 = \pi (24h -h^2) \\ & = (24\pi h-\pi h^2)~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jawaban b)
Diketahui laju perubahan ketinggian alkohol sebagai $\dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} = 0,001$ cm/detik, maka laju perubahan luas permukaan alkohol dapat dinyatakan sebagai
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}L}{\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}L}{\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} \\ & = (24\pi -2\pi h) \cdot 0,001 \end{aligned}$
Dengan demikian, pada saat ketinggian alkohol $h = 6$ cm, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\dfrac{\text{d}L}{\text{d}t}\right)_{h = 6} & = (24\pi- 2(\pi)(6)) \cdot 0,001 \\ & = 12\pi \cdot 0,001 \\ & = 0,012\pi~\text{cm}^2/\text{detik} \end{aligned}$
Jadi, laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm adalah $\boxed{0,012\pi~\text{cm}^2/\text{detik}}$

Diketahui:
$\begin{aligned} t & = 100~\text{cm} \\ r & = 50~\text{cm} \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}T} & = 100~\text{cm}^3/\text{detik} \end{aligned}$
Ditanya: $\dfrac{\text{d}L} {\text{d}T} = \cdots?$
Hubungan tinggi kerucut $t$ dan jari-jari permukaan atas $r$ diberikan oleh
$\dfrac{t} {r} = \dfrac{100}{50} \Rightarrow t = 2r.$
Dengan menggunakan rumus volume kerucut, diperoleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac{1}{3}\pi r^2t \\ \text{Substitusi}~&t = 2r \\ V & = \dfrac{1}{3}\pi r^2(2r) \\ V & = \dfrac{2}{3}\pi r^3 \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}r} & = 2 \pi r^2 \end{aligned}$
Karena permukaan air berbentuk lingkaran, maka luasnya ditentukan oleh rumus $L = \pi r^2.$ Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}L} {\text{d}T} & = \dfrac{\text{d}L} {\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r} {\text{d}T} \\ & = \dfrac{\text{d}L} {\text{d}r} \cdot \dfrac{\text{d}r} {\text{d}V} \cdot \dfrac{\text{d}V} {\text{d}T} \\ & = 2\pi r \cdot \dfrac{1}{2\pi r^2} \cdot 100 \\ & = \dfrac{100}{r} \end{aligned}$
Saat tinggi $t = 40~\text{cm}$, diperoleh $r = 20~\text{cm}$ sehingga $\dfrac{\text{d}L} {\text{d}T} = \dfrac{100}{20} = 5.$
Jadi, laju pertambahan luas permukaan air saat tinggi permukaannya $40~\text{cm}$ adalah $\boxed{5~\text{cm}^2/\text{detik}}$

Jawaban a)
Buat titik $D$ di $OB$ sehingga $DP$ sejajar dengan $OA$. Posisikan juga titik $C$ di $OA$, seperti tampak pada gambar berikut.
Diketahui $PC = 1$ dan $DP = 4.$
Kita peroleh pada $\triangle ACP$, berlaku
$\begin{aligned} \tan \theta & = \dfrac{PC}{CA} = \dfrac{1}{CA} \\ \Rightarrow CA & = \dfrac{1}{\tan \theta} = \cot \theta \end{aligned}$
Pada $\triangle BDP,$ berlaku
$\begin{aligned} \tan \theta & = \dfrac{BD}{DP} = \dfrac{BD}{4} \\ \Rightarrow BD & = 4 \tan \theta \end{aligned}$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} OA+OB & = (OC+CA)+(OD+DB) \\ & = (4+\cot \theta)+(1+4\tan \theta) \\ & = 5 + 4 \tan \theta + \cot \theta \end{aligned}$$Terbukti.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa nilai minimum bagi $OA+OB$ adalah $9$.
Misalkan $f(\theta) = OA+OB$ $= 5 + 4 \tan \theta + \cot \theta.$
Agar $f(\theta)$ bernilai minimum, maka harus dibuat $f'(\theta) = 0$, yaitu
$\begin{aligned} 4 \sec^2 \theta + (-\csc^2 \theta) & = 0 \\ \csc^2 \theta & = 4 \sec^2 \theta \\ \text{Bagi kedua ruas}&~\text{dengan}~\sec^2 \theta \\ \dfrac{\csc^2 \theta}{\sec^2 \theta} & = 4 \\ \cot^2 \theta & = 4 \\ \cot \theta & = \pm 2 \end{aligned}$
Karena $\theta$ berada di kuadran I, maka haruslah $\cot \theta = 2.$
Dengan demikian, fungsi $f$ akan minimum bila $\cot \theta = 2$, dan kita akan peroleh
$f_{\text{min}}(\theta) = 5 + 4\left(\dfrac12\right) + 2 = 9.$
Jadi, terbukti bahwa nilai minimum bagi $OA+OB$ adalah $9.$
Jawaban b)
Perhatikan gambar berikut kembali.
Kita peroleh pada $\triangle ACP$, berlaku
$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{PC}{AP} = \dfrac{1}{AP} \\ \Rightarrow AP & = \dfrac{1}{\sin \theta} = \csc \theta \end{aligned}$
Pada $\triangle BDP$, berlaku
$\begin{aligned} \tan \theta & = \dfrac{DP}{PB} = \dfrac{4}{PB} \\ \Rightarrow PB & = \dfrac{4}{\cos \theta} = 4 \sec \theta \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} AB & = PB + AP \\ & = 4 \sec \theta + \csc \theta \end{aligned}$
Terbukti.
Selanjutnya, akan dicari nilai minimum bagi $AB.$
Misalkan $f(\theta) = AB = 4 \sec \theta + \csc \theta.$
Agar $f(\theta)$ bernilai minimum, maka harus dibuat $f'(\theta) = 0,$ yaitu
$$\begin{aligned} \DeclareMathOperator{\arccot}{arccot} 4(\sec \theta \tan \theta)+(-\csc \theta \cot \theta) & = 0 \\ 4\left(\dfrac{1}{\cos \theta} \times \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)-\left(\dfrac{1}{\sin \theta} \times \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right) & = 0 \\ \dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} & = \dfrac{4 \sin \theta}{\cos^2 \theta} \\ \cos^3 \theta & = 4 \sin^3 \theta \\ \cot^3 \theta & = 4 \\ \cot \theta & = \sqrt[3]{4} \\ \theta & = \arccot \sqrt[3]{4} \\ \theta & \approx 32,21^{\circ}~~~(*) \end{aligned}$$Untuk $\theta = 32,21^{\circ}$, kita dapatkan
$\begin{aligned} f_{\text{min}}(\theta) & = f(32,21^{\circ}) \\ & = 4 \sec 32,21^{\circ} + \csc 32,21^{\circ} \\ & \approx 1,876 + 4,728~~~(*) \\ & = 6,604 \approx 6,60 \end{aligned}$
Catatan: $(*)$ Dipersilakan untuk menggunakan kalkulator untuk menghitung nilai pada bagian ini.
Jadi, nilai minimum $AB$ sampai dua angka di belakang koma adalah $\boxed{6,60}$

Karena segitiga sama sisinya memiliki panjang sisi $x$, maka kawat yang dibutuhkan sebanyak $x+x+x=3x$ cm. Sisa kawat dipakai semua untuk membuat persegi, yaitu $(90-3x)$ cm.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} s_{\text{per}\text{segi}} & = \dfrac{90-3x}{4}~\text{cm} \\ L_{\text{per}\text{segi}} & = \dfrac{(90-3x)^2}{16}~\text{cm}^2 \\ L_{\text{segi}\text{tiga}} & = \dfrac12(x)(x) \sin 60^{\circ} \\ & = \dfrac14\sqrt3x^2~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Misalkan jumlah luas kedua bangun datar itu dinyatakan sebagai fungsi $f$ sehingga ditulis
$f(x) = \dfrac{(90-3x)^2}{16}+ \dfrac14\sqrt3x^2.$
Agar $f(x)$ maksimum, maka kita harus membuat $f'(x) = 0.$
$$\begin{aligned} f'(x) & = 0 \\ \dfrac{\cancel{2}(90-3x)(-3)}{\cancelto{8}{16}} + \dfrac{1}{\cancelto{2}{4}}\sqrt3(\cancel{2}x) & = 0 \\ \dfrac{9x-270}{8} + \dfrac12\sqrt3x & = 0 \\ (9x-270) + 4\sqrt3x & = 0 && (\text{Kali}~8~\text{pada kedua ruas}) \\ (9+4\sqrt3)x & = 270 \\ x & = \dfrac{270}{9+4\sqrt3} \times \color{red}{\dfrac{9-4\sqrt3}{9-4\sqrt3}} \\ x & = \dfrac{270(9-4\sqrt3)}{9^2-(4\sqrt3)^2} \\ x & = \dfrac{270(9-4\sqrt3)}{33} \\ x & = \dfrac{90(9-4\sqrt3)}{11} \end{aligned}$$Jadi, jumlah luas akan maksimum bila $\boxed{x = \dfrac{90(9-4\sqrt3)}{11}}$
(Jawaban B)